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PRESENTACIÓN DEL CURSO

 

El curso se desarrolla en modalidad expositiva, la cual es liderada por el profesor. La duración del curso es de aproximadamente 5 meses, en los cuales se realizarán tres sesiones semanales de una hora y media cada una. A los alumnos se les asignarán problemas que deberán exponer delante de sus compañeros, quienes criticarán o elogiarán el trabajo realizado.

Portada 

OBJETIVO GENERAL

 

El objetivo del curso es el estudio de la integral de Lebesgue en un contexto general, para lo cual se trabajan las sigmas álgebras, la construcción de medidas, las funciones medibles y la integración. En particular, se enfatiza la fuerza de los teoremas de la convergencia monótona de Lebesgue y el Lema de Fatou. El curso termina con un estudio de la integral en espacios productos, el teorema de Fubini y, finalmente, con el teorema fundamental del Cálculo para la integral de Lebesgue.

 

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

 

El curso tiene por objetivo entregar al estudiante, que se enfrenta por primera vez con la teoría de la medida y la integración, un desarrollo basado en análisis de teoremas expuestos en clases y en los diversos textos de teoría de la medida y la integración. Además, se pretende que los estudiantes puedan afianzar sus conocimientos en las materias abordadas por el curso y adquirir seguridad en lo que se refiere a las aplicaciones prácticas y teóricas de los contenidos.

 

METODOLOGÍAS

 

La metodología se basa en la realización de clases expositivas y la defensa de problemas propuestos por el profesor en la sala de clases. La asignatura hace énfasis en el trabajo que realizarán los alumnos resolviendo y planteando problemas. Además, se destaca la importancia de que los estudiantes puedan exponer el resultado de estos problemas frente a sus compañeros.

 

CONTENIDOS

 

1.- Elementos Previos

  • Nociones básicas de Teoría de Conjuntos
  • Uniones disjuntas
  • Cardinalidad
  • Espacios métricos y topológicos
  • Convergencia y completitud
  • Espacios normados
  • Continuidad
  • Compacidad

 

2.- Clases de Conjuntos

  • Álgebras
  • Sigmas-álgebras
  • Álgebras y sigmas-álgebras generadas
  • Colecciones monótonas

 

3.- Medidas

  • Funciones de conjuntos
  • Medidas
  • Medidas exteriores
  • Construcción de medidas exteriores
  • Medidas inducidas por medidas exteriores

 

4.- Extensión de Medidas

  • El teorema de Carathèodory
  • Completación de medidas
  • La medida de Lebesgue
  • Conjuntos no medibles
  • La medida de Lebesgue-Stieljes

 

5.- Integración

  • Funciones medibles
  • Funciones simples
  • Integración de funciones positivas
  • El teorema de la convergencia Monótona
  • El lema de Fatou
  • El teorema de la convergencia dominada
  • Comparación con la integral de Riemann

 

6.- Los espacios Lp

  • Funciones convexas
  • La desigualdad de Jensen
  • Las desigualdades de Hölder y Minkowki
  • Los espacios Lp

 

7.- Medidas Signadas

  • La descomposición de Hahn
  • La descomposición de Jordan
  • Continuidad absoluta
  • El teorema de Radon-Nikodym
  • El teorema de descomposición de Lebesgue

 

8.- Integración en espacios producto

  • Medidas producto
  • El teorema de Fubini
  • El caso real

 

9.- El teorema Fundamental del Cálculo

  • Funciones de variación acotada
  • Diferenciabilidad
  • Continuidad absoluta
  • El teorema Fundamental

 

BIBLIOGRAFÍA

 

  • Medida e integraçao, Pedro Fernández, IMPA.
  • The elements of Real Analysis, Robert Bartle, John Wiley & Sons.
  • Real Analysis and Probability, Robert Ash, Academic Press.
  • Real and Complex Analysis, Walter Rudin, THM edition.
Copyright 2009, Autores y colaboradores. Reconocer autoría/Citar obra. Programa. (2011, June 15). Retrieved July 25, 2017, from PUCV OPENCOURSEWARE Web site: http://ocw.pucv.cl/cursos-1/teoria-de-la-medida-e-integracion/programa. Todos los derechos reservados